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CAD: Álgebra Linear e da Câmara Synthetic

Uma exigência óbvia, em computação gráfica, é ser capaz de ver um objeto a partir de muitos pontos de vista diferentes. Isto é realizado por transformação do objecto com respeito a um sistema de coordenadas fixar, frequentemente referido como o sistema de coordenadas. Outra abordagem é definir uma visão do sistema que está livre para se movimentar no espaço de coordenadas. Pense em uma câmera, correção neste sistema e apontando na direção ao longo do eixo n da visualização sistema de coordenadas, definindo a direção de visualização da câmera sintética.

Usando a câmera Synthetic

Assim como um fotógrafo estrategicamente coloca sua câmera para visão diferente, a câmara sintético pode ser usado para enquadrar uma cena semelhante ao olhar através do visor de uma câmera. A parte do campo de visão da câmera que é utilizado para visualizar uma cena é chamada de estrutura de produção. O quadro de produção é semelhante ao visor da câmera do mundo real. A estrutura de produção é localizado na UV-avião. O sistema UVN-se de um sistema móvel de coordenadas. Fixo no sistema-UVN é a moldura de produção, juntamente com a câmara posicionada no centro da projecção (COP). O ponto de visão ou observação está localizado no COP e definido na UVN-coordenadas do vector

A origem do sistema ponto-UVN ou vista de referência (VRP) está localizado na

no mundo sistema de coordenadas. O plano da vista normal (VPN) especifica o eixo n do sistema-UVN. O VPN é sempre perpendicular ao plano de visualização, e é representado pela vector unitário

tal como definido no mundo coordenadas (do sistema xyz).

o "acima" vetor, também chamado de vista vetor (VUP), é definido no sistema de coordenadas. o "acima" vector é utilizado para alinhar o eixo v no sistema-UVN. A direção "acima" é geralmente definida no mesmo sentido como "gravidade". Isso dá uma visão realista de um objeto, ou seja, um espectador terá a sensação de voar de cabeça para baixo em uma aeronave, se um edifício é visto como apontando para baixo.

O sistema de UVN é um sistema canhoto. Para a maioria das aplicações, o olho está localizado no eixo n-negativo. O n-eixo positivo é direcionado para longe do olho em direção ao objeto que você deseja "apontar para ". A posição do objecto é fixo nas coordenadas globais.

Um objecto está localizado na origem do sistema de coordenadas globais. Tendo em conta que o olho está localizado numa posição no negativo "N-eixo", A direcção do eixo n é calculado usando:

A direcção do eixo y será calculada seguinte. O eixo y deve apontar para cima, isto é na direcção do eixo y. Assumindo que o "apontar para" posição está localizado a origem do sistema de coordenadas, como a VRP é mover para cima, na direcção y, o "apontar para" ponto de se mover para posição acima da origem a menos que o sistema de câmara é permitido para inclinar para baixo, conforme "R y " Está melhorado. Para isso, o eixo v deve ser ajustável. O V-eixo novo deve situar-se no plano do e vectores e perpendicular ao vector,.

A seguinte equação vai gerar o vector necessário:

A representação vetor unitário para o eixo v é:

O último passo é calcular o vector de unidade que representa o eixo u. Se tivermos em mente que o UVN-se de um sistema canhoto e vetores e são definidos em termos de um sistema destro, o vetor é calculada pelo produto cruzado da direita:

Transformação de coordenadas do mundo a ver Coordenadas

A posição da câmara ou o olho é corrigido na visualização sistema de coordenadas. A origem do sistema de coordenadas UVN está localizado no ponto de referência vista (VRP), descrita por um vector definido em coordenadas globais:

A representação de um ponto em coordenadas globais é determinada pelo produto de duas matrizes de transformações.

Considere um ponto no UVN coordenadas; você deve transformar o ponto para o mundo equivalente ponto com o entendimento de que o sistema de visualização é definida em coordenadas mundiais coordenadas.

A fim de simplificar a discussão, os cálculos estão restritas ao UV-avião ou o problema 2-dimensional. Considere o ponto definido na xyz coordenadas como (x. Y. 0) e com um equivalente de coordenadas, (a. B, 0) no UVN-sistema. Faça a pergunta, "O que a transformação é necessária para transformar o ponto (a. B) para o ponto (x, y)?". É possível exprimir a transformação total, como o produto de duas matrizes, por conseguinte, devem ser tomadas precauções para assegurar que as transformações são realizadas na ordem apropriada uma vez que as representações da matriz é conmutativo.

O primeiro passo é considerar um movimento no sistema mundial que é equivalente ao movimento desde a origem do sistema de UV para o ponto (a, b). Esta operação é executada movendo "a unidades" na direcção do eixo ue "as unidades B" na direcção do eixo V e é representado pela equação vectorial:

onde e são vectores unitários que definem as coordenadas do sistema de UV. Em forma de matriz, a equação de transformação é:

vetores linha e pode ser escrito em forma de componente e que o problema expandida para 3-espaço para dar a matriz de transformação 4-espaço homogêneo.

É possível, mas não necessário, para mostrar que a matriz, é uma matriz simples rotação em relação à origem do sistema mundial. A geometria para o problema 2-D é assim resumida:

No geral, a origem do sistema de UVN e a origem do sistema-XYZ não estão localizados no mesmo ponto. A tradução de "R x unidades" na direcção do eixo x, seguido por um "unidades R y" Tradução na na direcção do eixo y é necessária.

Esta operação traduz eficazmente a origem do sistema de UV para a posição, como ilustrado.

Expandindo o problema em 3-espaço, a matriz de tradução em homogênea 4-espaço é escrito como:

A transformação total para um ponto com coordenadas de visualização, a um ponto equivalente no mundo coordenadas é dado por:

A transformação inversa, mundo coordena a visualização coordenada é:

É possível demonstrar que o inverso de um produto matriz é igual às matrizes inversas multiplicada pela ordem inversa.

Da mesma forma, a matriz inversa para a matriz de tradução é apenas o reverso tradução e o inverso da matriz de rotação é a transpor da matriz de rotação. É possível provar esta propriedade sem assumir que a matriz é uma matriz de rotação por meio de um produto de pontos. Por quê? A transformação de coordenadas do mundo em coordenadas de visualização é dado por:

Observa-se que os vectores unitários que definem os eixos do sistema de visão, estão as colunas da matriz de transformação.

A transformação total

A transformação total para um ponto em coordenadas globais para um ponto em coordenadas de visualização, assumindo que o olho está posicionado em, é:

A localização olho ou COP é definido no sistema-UVN. A matriz tem em conta que o olho não necessita de deitar-se no N-eixo, onde:

A derivação para esta matriz não foi apresentado. Para o caso especial, a localização COP é no eixo dos n, isto é, reduz a matriz para a matriz identidade.

A matriz de transformação de perspectiva, é dada por:

A localização do olho no eixo n é geralmente negativos para um sistema com a mão esquerda. A transformação de perspectiva se move cada ponto de vértice em três dimensões em 2-espaço. O ponto projeto é desenhado usando:

n * representa um "pseudoprofundidade" e não tem o mesmo significado como os outros dois coordenadas. As coordenadas do projeto são u * e * v onde n * é definido como zero.

Escrito por Ross Bradbeer, 24 de setembro de 1997